Магический квадрат (камея)

Фрагмент гравюры Дюрера «Меланхолия» с магическим квадратом 4×4, два нижних числа складываются в год создания гравюры (1514).

Магический квадрат, камея — квадратная таблица, заполненная числами таким образом, что сумма чисел в каждой строке, столбце и на обеих диагоналях оказывается одинаковой. Применяются в планетарной и некоторых других разделах магии для создания талисманов, изображения сигил и в других целях.

Магические квадраты планет строятся на основе того числа, которому соответствует данная планета. Количество секций в любой строке, столбце или диагонали квадрата равняется символическому числу данной планеты. Сумма всех чисел в каждом ряду и общая сумма всех чисел магического квадрата также связаны с этим символическим числом: они должны делиться на него без остатка. В квадрате планеты числа всегда начинаются с 1, ни одно число не может быть пропущено при заполнении таблицы, таким образом, магический квадрат числа n содержит числа от 1 до n в квадрате.

Изображение Ло Шу в книге эпохи Мин

Магический квадрат Сатурна с верифицирующей фигурой

Уоллис Бадж полагает, что слово «камея» происходит от того же корня, что и английское «cameo» (англ.) — «миниатюрный, маломасштабный».

"Печать Сатурна" (Sigillum Saturni) - истиный магический квадрат числа 3 был известен ещё в Древнем Китае под названием Ло Шу (кит. трад. 洛書, упр. 洛书, пиньинь luò shū), первое изображение на черепаховом панцире датируется 2200 г. до н. э. В XIII в. математик Ян Хуэй занялся проблемой методов построения магических квадратов. Его исследования были потом продолжены другими китайскими математиками. Ян Хуэй рассматривал магические квадраты не только третьего, но и больших порядков. Некоторые из его квадратов были достаточно сложны, однако он всегда давал правила для их построения.

Самым ранним в европейском искусстве считается магический квадрат 4×4, изображённый на гравюре Альбрехта Дюрера «Меланхолия I». Два средних числа в нижнем ряду указывают дату создания гравюры (1514). Сумма чисел на любой горизонтали, вертикали и диагонали равна 34. Эта сумма также встречается во всех угловых квадратах 2×2, в центральном квадрате (10+11+6+7), в квадрате из угловых клеток (16+13+4+1), в квадратах, построенных «ходом коня» (2+12+15+5 и 3+8+14+9), в вершинах прямоугольников, параллельных диагоналям (2+8+15+9 и 3+12+14+5), в прямоугольниках, образованных парами средних клеток на противоположных сторонах (3+2+15+14 и 5+8+9+12). Большинство дополнительных симметрий связано с тем, что сумма любых двух центрально симметрично расположенных чисел равна 17. Данный квадрат является "Печатью Юпитера" (Sigillum Iouis).

Часто можно построить несколько магических квадратов для одной планеты, то есть магических квадратов определенного числа, чем число больше, тем больше таких магических квадратов можно найти. С точки зрения математики все они являются магическими квадратами данного числа, однако в магии используются только те, которые проверяются печатью (или фигурой) планеты — это симметричная фигура, линии которой последовательно проходят через все числа соответствующего магического квадрата. Такую печать также называют верифицирующей фигурой квадрата. Таким образом, печать представляет собой некий обобщенный символ, или синтез камеи. Печать состоит из отрезков, длина которых соответствует числу данной планеты. Так, отрезки в печати Сатурна (число 3) будут соединять в его квадрате последовательно числа 1-2-3, 4-5-6, 7-8-9. Если фигура, образованная этими линиями, симметрична, мы имеем дело с истинным магическим квадратом планеты, на основе которого можно строить сигилы и иным образом использовать его в планетарной магии.

Сама печать планеты или планетарная фигура также используется в планетарной магии, как обозначение соответствующей силы в амулетах и иных случаях.